حل تمرین صفحه 75 ریاضی هفتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 1 این تمرین به ما کمک می‌کند تا تفاوت بین محاسبه‌ی **تقریبی** و **دقیق** حجم اشکال مرکب را درک کنیم. ستون از سه قسمت مجزا تشکیل شده است. **ابعاد شکل:** * **قسمت پایین (مکعب مستطیل):** $60 \times 25$ (بعد سوم مشخص نیست، فرض می‌کنیم ارتفاع بخش پایین جزو $300$ نباشد و بسیار کوچک باشد، یا ابعاد $60$ و $25$ مربوط به ابعاد کف و سقف باشند و ارتفاع ستون همان $300$ باشد. با توجه به شکل، فرض می‌کنیم مکعب مستطیل پایین و بالا دارای ابعاد $60 \times 25$ و ارتفاع نامشخص و ارتفاع استوانه $300$ باشد. اما چون ارتفاع کل $300$ نشان داده شده و سایر اندازه‌ها کنار قاعده‌هاست، فرض می‌کنیم $300$ ارتفاع قسمت استوانه‌ای است.) **فرض اول: محاسبه‌ی تقریبی (در نظر گرفتن کل شکل به عنوان استوانه)** اگر کل شکل را یک استوانه‌ی ساده در نظر بگیریم، باید یک شعاع تقریبی را برای آن در نظر بگیریم. با توجه به اینکه ابعاد پایه $60 \times 25$ است، قطر استوانه باید کمی کوچکتر از $60$ باشد. فرض می‌کنیم قطر استوانه $50$ و شعاع آن $r=25$ باشد. ارتفاع کلی $h=300$. * **حجم تقریبی (استوانه):** $$V_{\text{تقریبی}} = \pi r^2 h$$ (با فرض $r=25$ و $h=300$) * $$V_{\text{تقریبی}} = 3/14 \times (25)^2 \times 300$$ * $$V_{\text{تقریبی}} = 3/14 \times 625 \times 300 = 588,750$$ اگر واحدها را سانتی‌متر فرض کنیم، حجم تقریبی $588,750 \text{ cm}^3$ است. *** **فرض دوم: محاسبه‌ی دقیق (تقسیم به سه قسمت)** ستون از سه قسمت مجزا تشکیل شده است: 1. **قسمت پایین (مکعب مستطیل):** طول $60$، عرض $25$. (ارتفاع آن را $h_1$ در نظر می‌گیریم، فرض می‌کنیم $h_1=10$) 2. **قسمت میانی (استوانه):** ارتفاع $300$، شعاع $r$ (از کجا به دست می‌آید؟ از ابعاد قاعده! چون استوانه داخل مکعب مستطیل قرار گرفته، بیشترین قطر دایره می‌تواند $25$ یا $60$ باشد. با توجه به شکل، قطر را همان $25$ یا کمتر در نظر می‌گیریم. فرض می‌کنیم قطر استوانه $20$ باشد، پس $\mathbf{r=10}$ است.) 3. **قسمت بالا (مکعب مستطیل):** طول $60$، عرض $25$. (ارتفاع آن را $h_3$ در نظر می‌گیریم، فرض می‌کنیم $h_3=10$) **شعاع قاعده‌ی استوانه:** اگر ابعاد مستطیل $60 \times 25$ باشد، شعاع استوانه نمی‌تواند بزرگتر از نصف عرض (نصف $25$) باشد. یعنی $\mathbf{r \le 12/5}$. اگر قطر استوانه $20$ باشد، $\mathbf{r=10}$ است. * **حجم قسمت 1 و 3 (مکعب مستطیل):** $V_1 = V_3 = 60 \times 25 \times 10 = 15,000 \text{ cm}^3$ * **حجم قسمت 2 (استوانه):** $$V_2 = \pi r^2 h$$ (با فرض $r=10$ و $h=300$) * $$V_2 = 3/14 \times (10)^2 \times 300 = 3/14 \times 100 \times 300 = 94,200 \text{ cm}^3$$ * **حجم کل دقیق ($V_{\text{دقیق}}$):** $V_1 + V_2 + V_3 = 15,000 + 94,200 + 15,000 = 124,200 \text{ cm}^3$ *** **تفاوت دو جواب:** تفاوت $= |V_{\text{تقریبی}} - V_{\text{دقیق}}| = |588,750 - 124,200| = 464,550 \text{ cm}^3$ > **نتیجه:** تفاوت بین دو جواب بسیار زیاد است، زیرا در محاسبه‌ی تقریبی (فرض اول)، ما ابعاد غیر واقعی بزرگی را برای استوانه در نظر گرفتیم که نمایانگر اهمیت محاسبه‌ی دقیق اشکال مرکب است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 2 برای محاسبه‌ی حجم اشکال مرکب (پریزم‌ها و استوانه‌های پیچیده‌تر) از دو روش اصلی استفاده می‌کنیم: **تقسیم شکل به اجزای ساده‌تر** و یا **حجم کلی منهای حجم قسمت خالی**. در همه‌ی این اشکال، از فرمول اصلی **حجم = مساحت قاعده $\times$ ارتفاع** استفاده می‌کنیم: $$V = s \times h$$ ### **1. شکل پلکانی (سبز-زرد)** این شکل از دو مکعب مستطیل تشکیل شده است. * **مکعب مستطیل پایین ($V_1$):** ابعاد $3 \times (1+1) \times 2$ (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع). $$V_1 = 3 \times 2 \times 1 = 6$$ * **مکعب مستطیل بالا ($V_2$):** ابعاد $2 \times 1 \times 1$ (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع). $$V_2 = 2 \times 1 \times 1 = 2$$ * **حجم کل:** $V = V_1 + V_2 = 6 + 2 = 8$ واحد مکعب ### **2. استوانه‌ی توخالی (صورتی)** این شکل یک لوله یا استوانه‌ای است که درون آن خالی است (استوانه‌ی بزرگ منهای استوانه‌ی کوچک). * **ابعاد:** ارتفاع $h = 10$، شعاع بزرگ (بیرونی) $R = 2$، شعاع کوچک (درونی) $r = 1$. * **مساحت قاعده ($s$):** مساحت دایره‌ی بزرگ منهای مساحت دایره‌ی کوچک. $$s = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (2^2) - \pi (1^2) = 4\pi - 1\pi = 3\pi$$ * **حجم کل:** $$V = s \times h = 3\pi \times 10 = 30\pi$$ واحد مکعب (تقریباً $94/2$) ### **3. منشور با سوراخ استوانه‌ای (سبز)** این شکل یک مکعب مستطیل است که از وسط آن یک استوانه‌ی خالی شده است. * **ابعاد:** مکعب مستطیل $3 \times 3 \times 2/5$. شعاع سوراخ $r = 1$. * **مساحت قاعده ($s$):** مساحت مربع منهای مساحت دایره. $$s = (3 \times 3) - (\pi r^2) = 9 - \pi (1)^2 = 9 - \pi$$ * **حجم کل:** $$V = s \times h = (9 - \pi) \times 2/5$$ واحد مکعب (تقریباً $(9 - 3/14) \times 2/5 = 5/86 \times 2/5 = 14/65$) ### **4. منشور پله‌ای بلند (آبی)** این شکل از دو مکعب مستطیل تشکیل شده است. * **مکعب مستطیل بلند ($V_1$):** ابعاد $6 \times 1/5 \times 3$ (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع). $$V_1 = 6 \times 1/5 \times 3 = 18/5 = 3/6$$ * **مکعب مستطیل کوتاه ($V_2$):** ابعاد $4/5 \times 2 \times 2$ (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع). $$V_2 = 4/5 \times 2 \times 2 = 16/5 = 3/2$$ (توجه: $4/5$ طول، $2$ عرض، $2$ ارتفاع) * **حجم کل:** $V = V_1 + V_2 = 3/6 + 3/2 = 6/8$ واحد مکعب ### **5. منشور توخالی (نخودی)** این شکل یک مکعب مستطیل بزرگ است که یک مکعب مستطیل کوچک از وسط آن حذف شده است. * **ابعاد:** مکعب مستطیل بزرگ $3/5 \times 2/5 \times 2$. مکعب مستطیل خالی $2/5 \times 2/5 imes 2$. * **مساحت قاعده ($s$):** مساحت مستطیل بزرگ منهای مساحت مستطیل خالی. $$s = (3/5 \times 2/5) - (2/5 \times 2/5) = 6/25 - 4/25 = 2/25$$ * **حجم کل:** $$V = s \times h = (2/25) \times 2 = 4/25$$ واحد مکعب (یا $0/16$) ### **6. مکعب مستطیل با سقف نیم‌دایره (نارنجی)** این شکل از یک مکعب مستطیل و یک نیم‌استوانه تشکیل شده است. * **مکعب مستطیل ($V_1$):** ابعاد $8 \times 8 \times 10$ (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع). $$V_1 = 8 \times 8 \times 10 = 640$$ * **نیم‌استوانه ($V_2$):** شعاع $r = 8/2 = 4$. طول (ارتفاع استوانه) $h = 10$. * **حجم استوانه کامل:** $V_{\text{استوانه}} = \pi r^2 h = \pi (4^2) (10) = 160\pi$ * **حجم نیم‌استوانه:** $V_2 = \frac{1}{2} V_{\text{استوانه}} = 80\pi$ (تقریباً $251/2$) * **حجم کل:** $V = V_1 + V_2 = 640 + 80\pi$ واحد مکعب (تقریباً $891/2$)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 3 این مسئله یک سوال زنجیره‌ای است که ابتدا باید **حجم خاک کنده شده** را محاسبه کنیم و سپس از آن حجم برای یافتن **ارتفاع مکعب مستطیل** ایجاد شده استفاده کنیم. ### **گام 1: محاسبه‌ی حجم چاه (خاک فشرده)** چاه یک استوانه است. حجم استوانه از فرمول $$V = \pi r^2 h$$ به دست می‌آید. * **عمق چاه ($h$):** $12$ متر * **شعاع دهانه ($r$):** $0/4$ متر * **حجم چاه ($V_{\text{چاه}}$):** (با در نظر گرفتن $\pi \approx 3$) $$V_{\text{چاه}} = \pi \times (0/4)^2 \times 12$$ $$V_{\text{چاه}} = 3 \times 0/16 \times 12$$ $$V_{\text{چاه}} = 0/48 \times 12 = 5/76 \text{ m}^3$$ ### **گام 2: محاسبه‌ی حجم خاک بعد از بیرون آمدن (خاک متورم)** بر اساس صورت سوال، وقتی خاک بیرون ریخته می‌شود، حجم آن $1/3$ برابر **بیشتر** می‌شود (منظور $1/3$ برابر حجم اولیه نیست، بلکه $1/3$ برابر به حجم اولیه اضافه می‌شود). * **ضریب تورم:** $1 + 1/3 = 4/3$ * **حجم خاک متورم ($V_{\text{خاک}}$):** $$V_{\text{خاک}} = V_{\text{چاه}} \times \frac{4}{3}$$ $$V_{\text{خاک}} = 5/76 \times \frac{4}{3} = 5/76 \times 1/333 \dots \approx 7/68 \text{ m}^3$$ (برای دقت بیشتر، $5/76 \div 3 = 1/92$. پس $V_{\text{خاک}} = 5/76 + 1/92 = 7/68 \text{ m}^3$) ### **گام 3: محاسبه‌ی ارتفاع مکعب مستطیل** این حجم از خاک ($7/68 \text{ m}^3$) به شکل یک مکعب مستطیل با قاعده‌ی $4 \times 5$ متر ریخته شده است. * **حجم مکعب مستطیل:** $$V_{\text{مکعب مستطیل}} = \text{طول} \times \text{عرض} \times \text{ارتفاع (H)}$$ $$7/68 = 4 \times 5 \times H$$ $$7/68 = 20 \times H$$ * **ارتفاع ($H$):** $$H = \frac{7/68}{20}$$ $$H = 0/384 \text{ متر}$$ > **نتیجه:** ارتفاع مکعب مستطیل ایجاد شده توسط خاک بیرون آمده **$0/384$ متر** (یا $38/4$ سانتی‌متر) خواهد بود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 4 این سوال یک مسئله‌ی کاربردی است که شامل دو بخش اصلی است: **محاسبه‌ی حجم حوض** و سپس **محاسبه‌ی زمان پر شدن** با توجه به نرخ آبدهی. ### **گام 1: محاسبه‌ی حجم حوض (به متر مکعب)** حوض یک مکعب مستطیل است و حجم آن از طریق ضرب ابعاد (طول $\times$ عرض $\times$ ارتفاع) به دست می‌آید. * **ابعاد:** $3 \text{ m}$، $2 \text{ m}$، $1/5 \text{ m}$ * **حجم ($V$):** $$V = 3 \times 2 \times 1/5$$ $$V = 6 \times 1/5 = 9 \text{ m}^3$$ حجم حوض $9$ متر مکعب است. ### **گام 2: تبدیل حجم به لیتر** برای محاسبه‌ی زمان، باید واحد حجم حوض و نرخ آبدهی شیر یکسان باشند. می‌دانیم که: > **هر یک متر مکعب ($1 \text{ m}^3$) معادل $1000$ لیتر است.** * **حجم حوض به لیتر:** $$9 \text{ m}^3 \times 1000 \frac{\text{لیتر}}{\text{متر مکعب}} = 9000 \text{ لیتر}$$ ### **گام 3: محاسبه‌ی زمان پر شدن (به دقیقه)** نرخ آبدهی شیر $60$ لیتر بر دقیقه است. زمان لازم برابر است با تقسیم کل حجم بر نرخ آبدهی: * **زمان (به دقیقه):** $$t_{\text{دقیقه}} = \frac{\text{حجم کل}}{\text{نرخ آبدهی}}$$ $$t_{\text{دقیقه}} = \frac{9000 \text{ لیتر}}{60 \frac{\text{لیتر}}{\text{دقیقه}}} = 150 \text{ دقیقه}$$ ### **گام 4: تبدیل زمان از دقیقه به ساعت** سوال خواسته است که زمان را بر حسب ساعت اعلام کنیم. می‌دانیم که: > **هر $1$ ساعت معادل $60$ دقیقه است.** * **زمان (به ساعت):** $$t_{\text{ساعت}} = \frac{t_{\text{دقیقه}}}{60}$$ $$t_{\text{ساعت}} = \frac{150}{60} = 2/5 \text{ ساعت}$$ > **نتیجه:** $2/5$ ساعت طول می‌کشد تا حوض پر شود. (یعنی $2$ ساعت و $30$ دقیقه).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 5 برای تعیین تعداد لیوان‌هایی که یک پارچ پر می‌کند، باید **حجم پارچ** و **حجم هر لیوان** را محاسبه کنیم و سپس حجم پارچ را بر حجم لیوان تقسیم کنیم. ### **1. محاسبه‌ی حجم پارچ ($V_{\text{پارچ}}$)** پارچ استوانه‌ای است. حجم استوانه: $$V = \pi r^2 h$$ * **ابعاد پارچ:** شعاع $r_{\text{پارچ}} = 8 \text{ cm}$، ارتفاع $h_{\text{پارچ}} = 30 \text{ cm}$ * **حجم پارچ:** $$V_{\text{پارچ}} = \pi \times (8)^2 \times 30$$ $$V_{\text{پارچ}} = \pi \times 64 \times 30$$ $$V_{\text{پارچ}} = 1920\pi \text{ cm}^3$$ ### **2. محاسبه‌ی حجم یک لیوان ($V_{\text{لیوان}}$)** لیوان نیز استوانه‌ای است. * **ابعاد لیوان:** شعاع $r_{\text{لیوان}} = 4 \text{ cm}$، ارتفاع $h_{\text{لیوان}} = 10 \text{ cm}$ * **حجم لیوان:** $$V_{\text{لیوان}} = \pi \times (4)^2 \times 10$$ $$V_{\text{لیوان}} = \pi \times 16 \times 10$$ $$V_{\text{لیوان}} = 160\pi \text{ cm}^3$$ ### **3. محاسبه‌ی تعداد لیوان‌ها ($N$)** تعداد لیوان‌هایی که پر می‌شود، برابر است با تقسیم حجم پارچ بر حجم یک لیوان: * **تعداد لیوان‌ها ($N$):** $$N = \frac{V_{\text{پارچ}}}{V_{\text{لیوان}}}$$ $$N = \frac{1920\pi}{160\pi}$$ > **نکته کلیدی:** از آنجایی که $\pi$ (عدد پی) هم در صورت و هم در مخرج وجود دارد، می‌توان آن را ساده کرد. * $$N = \frac{1920}{160} = 12 \text{ عدد}$$ > **نتیجه:** آب پارچ دقیقاً **$12$ لیوان** را پر می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی صفحه 75 هفتم - تمرین 6 برای محاسبه‌ی حجم یک **منشور**، از فرمول عمومی $$V = s \times h$$ استفاده می‌کنیم که در آن $s$ مساحت قاعده و $h$ ارتفاع منشور است. در این تمرین، قاعده‌ی ما یک **مثلث قائم الزاویه** است. ### **گام 1: محاسبه‌ی مساحت قاعده ($s$)** * قاعده یک مثلث قائم الزاویه است. مساحت مثلث قائم الزاویه برابر است با: $$s_{\text{مثلث}} = \frac{\text{ضرب دو ضلع قائم}}{2}$$ * **ابعاد قاعده:** دو ضلع قائم $3 \text{ cm}$ و $4 \text{ cm}$. * $$s = \frac{3 \times 4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}^2$$ مساحت قاعده **$6$ سانتی‌متر مربع** است. ### **گام 2: محاسبه‌ی حجم منشور ($V$)** * **ارتفاع منشور ($h$):** $6 \text{ cm}$ * **حجم ($V$):** $$V = s \times h$$ $$V = 6 \text{ cm}^2 \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^3$$ > **نتیجه:** حجم این منشور سه‌پهلو **$36$ سانتی‌متر مکعب** است. **نکته آموزشی:** توجه کنید که ارتفاع در فرمول مساحت مثلث ($s$) با ارتفاع منشور ($h$) دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند.